4 Модели и методы для оценки качества сетевого функционирования

АНАЛИЗ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ (часть 3)

Абросимов  Л. И.

 

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК WAN

 

3.1. Постановка задачи

В процессе проектирования распределенной вычислительной сети WAN (Wide Area Network) разработчики задают различные структуры вычислительных сетей, а также возможные направления информационных потоков и для этих вариантов определяют временные характеристики для оценки каждого варианта функционирования WAN.

Решаемая в настоящей главе задача формулируется следующим образом:

для исследуемой WAN заданы:

- типы  устройств, где =;

- количество  устройств разных типов;

- структура S связей между устройствами;

- интенсивности  обслуживания;

- контура q потоков заявок, где   ,

- количество   заявок в каждом замкнутом контуре q,

- вероятности _, перехода заявок контура q из обслуживающего узла k_i в узел k_j .

Необходимо рассчитать такие характеристики WAN, как средние времена откликов  сообщений каждого замкнутого контура  и коэффициенты  загрузки для каждого узла k_i

В последующих параграфах для математической формулировки поставленной задачи и ее решения используется метод контуров, все шаги которого иллюстрируются единым учебным примером расчета характеристик для простейшей WAN.

3.2. Математическая формулировка

Математическая формулировка задачи предусматривает выявление всех узлов сети, обслуживающих сообщения, введение всех символьных обозначений для обслуживающих узлов, их характеристик и параметров WAN, и последующую запись всех необходимых линейных и нелинейных уравнений. Для выполнения этих преобразований применяют первые пять этапов метода контуров (см. параграф 2.6). Описание структуры WAN иллюстрируется примером 3.1, представленным на рис. 14.

Пример 3.1. Структура WAN содержит: Host (1H, 2H), которые в режиме удаленного доступа через каналы (1K — 12K) связи, коммуникационные контроллеры (1C — 5C) обслуживают в диалоговом режиме рабочие станции (1S — 60S), которые объединены в три группы (1GS — 3GS). При составлении функциональной структуры проектировщик выделяет те обслуживающие устройства, которые имеют существенное влияние на временные оценки функционирования WAN. Определяются типы m обслуживающих узлов. В функциональной структуре, которая представлена на рис.15, выделены три типа обслуживающих узлов H, K, S и задается количество узлов N_m каждого типа.

Пример 3.2. В рассматриваемой WAN задаем  интенсивности  обслуживания, где m = 1 для (H), m = 2 для (K) , m = 3 для (S). Принимаем, что задержки на обслуживание в контроллерах (C) учитываются параметрами  соответствующих каналов K, поэтому на рис. 15 представлены только точки коммутации сообщений (1C — 5C). В рассматриваемом примере количество обслуживающих узлов различных типов m соответственно равны: N₁ = 2,   N₂ = 12,   N₃ = 60. Построение графовой модели начинается с единой нумерации всех обслуживающих узлов. Каждый узел обозначается стрелкой k_i, где i = и N = . Затем описывают состав узлов в каждом контуре q и значения вероятностей . Введенная нумерация позволяет записать все исходные данные для расчета характеристик. Графовая модель примера 3.2. приведена на рис. 16

Пример 3.3. Графовая модель рассматриваемой WAN содержит узлы k₁, k₂, которые моделируют хосты (H)  и обслуживают сообщения с интенсивностью  = 10 1/s. Узлы k₃ — k₁₄ моделируют каналы (K)  и обслуживают сообщения с интенсивностью  = 6 1/s. Узлы k₁₅, — k₆₄,  моделируют станции (S)  и обслуживают сообщения с интенсивностью  = 0,333 1/s. В рассматриваемом варианте узлы обслуживают три замкнутых контура (). Сообщения  = 1 обслуживаются узлами k₁, k₃, k₈, (k₄₅, — k₆₄ ), k₉, k₄, что соответствует предоставлению ресурсов хост (1H) для станций (31S — 50S) . Сообщения  = 2 обслуживаются узлами k₂, k₁₃, k₁₁, (k₁₅, -- k₄₄), ((k₁₂), (k₁₀, k₁₄)),что соответствует предоставлению ресурсов хост (2H) для станций (1S — 30S) . Сообщения  = 3 обслуживаются узлами k₁, k₅, k₁₀, (k₅₅, -- k₆₄), ((k₇), (k₁₁, k₆)),что соответствует предоставлению ресурсов хост (1H) для станций (51S — 60S) . В связи с тем, что не используются полудуплексные каналы связи, при описании контуров достаточно одной фазы. Для точного описания контуров необходимо задавать для каждого контура  вероятности  p_i,j,q, перехода сообщений из  k_i в k_j:

для  = 1 заданы следующие значения: p_1,3,1 = p_3,8,1 = p_45,9,1 = ... = p_64,9.1 = p_9,4,1 = p_4,1,1 = 1,0;    p_8,45,1 = ... = p_8,64,1 = 0,05;

для  = 2 заданы следующие значения: p_2,13,2 = p_13,11,2 = p_10,14,2 = p_14,2,2 = p_12,2,2 = 1,0;  p_11,15,2 = ... = p_11,44,2 = 0,033;  p_15,10,2 = ... = p_44,10,2 = 0,5;  p_15,12,2 ... = p_44,12,2 = 0,5;

для  = 3 заданы следующие значения: p_1,5,3 = p_5,10,3 = p_11,6,3 = p_6,1,3 = p_7,1,3 = 1,0;  p_10,65,3 = ... = p_10,74,3 = 0,1;  p_65,11,3 = ... = p_74,11,3 = 0,5;  p_65,7,3 = ... = p_74,7,3 = 0,5.

 

Составление линейных уравнений баланса выполняется для интенсивности  потока сообщений контура q для каждого узла k_i с использованием соотношения (9). Для замкнутых контуров WAN в качестве базисной интенсивности  принимается интенсивность  в хостмашине для соответствующего контура.

=  где    .                                                              (17)

 

Пример 3.4. Запишем линейные уравнения для контура  рассматриваемой WAN:

 = ;   = ;   =   

 = ; ....  = ;

 =  +  + ...+ ;

 =  +  + ...+ ;

 = .                                                                     (18)

 

Для каждого контура q составляется нелинейное уравнение баланса, и при этом используются соотношения (6) и (10).

 

Пример 3.5. Для контура  рассматриваемой WAN нелинейное уравнение баланса имеет следующий вид:

 .

 (19)

Каждое слагаемое соответствует одному из узлов, входящих в рассматриваемый контур. Коэффициент  ограниченности очереди вычисляется по соотношению (11). Последнее слагаемое в (19) учитывает функционирование узлов k₁₅ — k₄₄, которые соответствуют станциям S первой группы 1GS и обладают идентичными характеристиками обслуживания сообщений.

Таким образом, соотношения вида (18) и (19) составляют основу математической модели функционирования WAN.

 

3.3. Алгоритм решения

Записанная математическая модель функционирования WAN обеспечивает переход к вычислению функциональных характеристик. Алгоритм вычисления состоит из следующих шагов:

1. Задаются численные значения для исходных данных, к которым относятся , , , , , .

2. Для каждого контура q  решаем систему линейных уравнений вида (18). В связи с тем, что контура в WAN обычно имеют несложную форму, целесообразно при вычислении значений  присваивать

 = 1 и использовать метод подстановки.

3. Для каждого узла k_i по соотношению (12) вычисляются значения . Если станция обслуживает в диалоговом режиме одно сообщение, то =0.

4. Система нелинейных уравнений содержит Q уравнений вида (19). Решение системы нелинейных уравнений можно производить итеративно, как описано в параграфе 2.4.  Для шага s=0  диапазон рассчитываемой интенсивности  базисного потока сообщений для уравнений контура q  находится в интервале между 0 и  , т. е. . Результатом итеративного расчета являются    для .

5. По вычисленным  и  для  каждого контура q и каждого узла k_i по соотношениям (8) и (3) определяем и . Затем вычисляем для каждого контура q время ответа  в диалоговом режиме и коэффициенты  загрузки узлов.

 

 

 

 

Пример 3.6. Для рассматриваемой WAN приведем результаты расчета характеристик :

1. Все численные значения исходных данных, которые необходимы для выполнения рассчетов, приведены в примере 3.2 при описании графовой модели.

2. Значения вычисленных приведены в табл. 1.

3. Значения вычисленных приведены в табл. 1.

4. Значения вычисленных  равны: : 3,973 1/s,

 4,691 1/s,   1,913 1/s.

5. Значения вычисленных и  приведено в табл. 1.

6. Значения вычисленных характеристик время ответа  в диалоговом режиме при функционировании  WAN равны:

 2,034 s,          3,395 s,

 2,227 s .

7. Коэффициенты  загрузки узлов равны:

 0,5886,         0,4691,        0,663,

 0,663,          0,3222,        0,1611,

 0,1611,        0,663,          0,663,

 0,7132,       0,9431,       0,391,

 0,782,         0,391.

 

 

 

 

 

Таблица 1. Рассчитанные параметры и характеристики WAN

3.4.Упражнения

Контрольные вопросы

1. Что является одинаковым и в чем состоят различия в описании структуры и функциональной схемы WAN?

2. В чем состоят отличия графовой модели от схемы функционирования WAN?

3. Почему контроллеры отсутствуют в функциональной и графовой моделях ?

4. Каким образом осуществляется описание контуров WAN?

5. Каким образом результаты решения уравнений (18) учитываются в системе нелинейных уравнений (19)?

6. В чем состоит главная трудность при практическом решении методом дихотомии системы нелинейных уравнений для WAN?

 

Задания

1. Используя данные из примеров 3.1 — 3.3, составьте и решите системы линейных уравнений для q = 1 и q = 3.

2. Используя данные из примеров 3.1 — 3.3, составьте и решите системы нелинейных уравнений для q = 1 и q = 3.

3. На основании анализа результатов расчета (см. Табл. 1) и примера 3.6 найдите перегруженный участок рассматриваемой WAN.

4. Как изменить трассы контуров, чтобы, не ухудшая время ответа пользователям, сократить количество каналов связи в рассматриваемой WAN?

5. Какое предельное количество пользователей в каждой группе WAN могут обслужить ресурсы сети при времени ответа, не превышающем 3 с ?