|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BC/NW 2015 № 1 (26) 2:5
ПРИМЕНЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ДОСТОВЕРНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ Ермилов С.И.
В современном мире проблема точности и достоверности вычислений приобретает четко выраженный прикладной аспект. При решении различных научных и инженерных задач высокой сложности необходимо быть уверенным, что результаты будут корректными[1]. В основном, численные методы работают с полем вещественных чисел, представляемых числами с плавающей запятой. Вследствие такой аппроксимации возникают различные ошибки округления, влияющие на конечную точность и достоверность результата. Существует много методов повышения точности и достоверности вычислений, как арифметика длинных чисел, интервальная и символьные вычисления, модулярная арифметика. Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки, поэтому поиск новых подходов к вычислениям является актуальной задачей. В 2014 году был предложен такой подход к вычислениям, основанный на универсальном представлении чисел (УПЧ) или universal numbers[2]. Определение. УПЧ – это множество объектов {s,e,m,u,es,fs}, где s – знак числа, равный нулю или единицу, e – порядок числа со знаком, m – мантисса без знака, u – бит неопределённости, es – размер экспоненты в битах, fs - размер мантиссы в битах. Определение. Подмножество {s,e,m} называется значением УПЧ. Определение. Подмножество {es,fs} называется метаданными УПЧ, т.е. данными, содержащими информацию о самом числе. Данные поля позволяют повысить гибкость вычислений, например, увеличить точность вычисления в случае необходимости. УПЧ с битом неопределённости u, равным нулю, представляет собой точное рациональное число. УПЧ с битом неопределенности u, равным единице, представляет собой открытый интервал между двумя ближайшими точными значениями. Нужно отметить, что такое УПЧ это не то же самое, что и округлённое число с плавающей точкой. Подробное описание УПЧ приведено в [2] Рассмотрим пример использования УПЧ для нахождения скалярного произведения векторов. Пусть есть два вектора X и Y.
Вычислим скалярное произведение векторов с помощью чисел с одинарной точностью, чисел с двойной точностью и УПЧ (es = 8; fs = 25) при alpha = 0. В табл. 1 представлена зависимость результата от коэффициента betta Табл.1 Результаты эксперимента
Из табл. 1 видно при повышении betta результаты начинают откланяться от исходного значения при использовании чисел с одинарной и двойной точностью, и также нельзя иметь уверенность в достоверности результата. При использовании УПЧ видно, что результат вычисления представляет собой интервал между двумя значениями, причем точный результат вычисления всегда лежит в получаемых интервалах. Нужно отметить, что в данном эксперименте максимальный размер мантиссы и экспоненты УПЧ гораздо меньше соответствующего размера чисел с двойной точностью. Если увеличить размеры УПЧ длина достоверного интервала будет соответственно уменьшаться. Перспективным направлением развития УПЧ является разработка аппаратной платформы данного типа вычислений.
1) Bailey D. H. High-precision floating-point arithmetic in scientific computation //Computing in science & engineering. – 2005. – Т. 7. – №. 3. – С. 54-61. 2) Gustafson J.L. The End of Error. Unum Computing — 2015.— ISBN 9781482239867.
|
