16 Организация сетевых вычислений

ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИОННЫХ ЭКВИВАЛЕНТОВ, РЕАЛИЗУЕМОГО НА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ МУЛЬТИКОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ

 

 

Дзегеленок И.И., Абдулрадх О.А.

 

 

(Москва, Московский энергетический институт (ТУ), Российская федерация)

 

 

 

 

Принципиальное отличие параллельной мультикомпьютерной сети (ПМК-сети) от кластера рабочих станций – отступление от незыблемого принципа “близкодействия”  компьютеров [1].  Главное, обеспечить эффективное взаимодействие последних, даже если они удалены друг относительно друга. Такая необходимость возникает, когда компьютеры находятся в локальных центрах управления (ЛЦУ) некоторой системы в непосредственной близости от источников возникновения исходных данных. В свою очередь система содержит главный центр управления (ГЦУ),  взаимодействующий со многими ЛЦУ, которые “отвечают” за работу своих подсистем.  Наглядный тому пример –   электроэнергетическая система (ЭЭС), состоящая из нескольких объединенных и/или многих региональных подсистем. ПМК-сеть в таком случае представляет компьютерную среду, обеспечивающую реализацию распределенных параллельных программ.

 Понятно, что наибольшая эффективность ПМК-сети может быть достигнута, если задача разбивается на подзадачи таким образом, чтобы, во-первых, обмены между компьютерами ЛЦУ были минимальны, во-вторых, мерность  “остаточной”  координирующей задачи удалось бы сократить до минимума. Этому требованию отвечают задачи, допускающие построение адекватных декомпозиционных моделей. Одну из таких моделей представляет метод декомпозиционных эквивалентов для решения базовой задачи управления ЭЭС – задачи расчета установившегося режима [2]. Можно ли оценить эффект от её реализации на ПМК-сети в зависимости от топологических характеристик электрической сети? Ответом на этот вопрос и является данная работа.

Оценку эффективности применения ПМК-сети будем производить по величине достигаемого коэффициента ускорения:

                               ,                                       (1)

где Т_центр­– время решения задачи в ГЦУ по результатам передачи данных наверх о текущем состоянии и топологии всех подсистем;

Т_распр– время реализации декомпозиционной модели в режиме распределенных параллельных вычислений.

Наше исследование проведем при наличии следующих допущений.

1. Решение каждой из систем линейных алгебраических уравнений, соответствующих числу узлов электрической системы (подсистемы)  осуществляется с использованием аналитического метода Гаусса.

2. Все компьютеры, установленные в ЛЦУ  и ГЦУ имеют одинаковые производительность и времена выполнения арифметических операций.

3. Передача данных в ГЦУ о параметрах электрических подсистем производится параллельно.

Необходимо также ввести ряд обозначений. Они следующие.

Для компьютерной среды:

Т_а, Т_m – время выполнения операций сложения, умножения соответственно  в [c];

V_кан – скорость канала связи в [бит/с];

В – число байтов, необходимых для представления одного параметра электрической системы (подсистемы);

Для электрической системы, отображающей  ЭЭС:

N – число определяемых подсистем;

m_sum – суммарное число узлов системы;

m_max – наибольшее число узлов подсистемы;

n_max, n_min – максимальное, минимальное число граничных узлов подсистем соответственно;

n_sum – суммарное число граничных узлов в системе.

Переходя к числовым оценкам, отметим следующее:

1) число линейных алгебраических уравнений равно k – числу узлов в системе (подсистемы);

2) максимально возможное число параметров системы (подсистемы) равно k(k+1);

3) реализация метода Гаусса требует NAO(к), NMO(k)  операций сложения, умножения соответственно, где

 

              ;                                              (2)

 

              .                                                  (3)

 

Оценим время Т_центр. Оно складывается из времени передачи данных в ГЦУ:

                                                             (4)

и собственно времени вычислений

 

                  .                           (5)

 

Перейдем к оценке времени Т_распр. При реализации декомпозиционной модели передача данных происходит в 3 этапа.

Этап1. Передача в ГЦУ параметров о эквивалентах всех подсистем относительно их граничных узлов, для чего требуется максимально возможное время:

 

                  .                                         (6)

 

Этап2. По окончании вычисления в ГЦУ напряжений на граничных узлах происходит передача их значений “вниз” в каждый ЛЦУ, поэтому

 

                   .                                                    (7)

 

Этап3. Вычисленные в ЛЦУ значения токов и напряжений для всех внутренних узлов передаются “наверх”. Максимально это занимает время:

 

                  .                                          (8)

 

Таким образом, собирая выражения (6), (7), (8) воедино, получим

 

                  .                        (9)

 

Для каждого из этапов 1, 2, 3 соответствующие времена вычислений определяются следующими выражениями:

 

; (10)

;                                              (11)

.                              (12)

 

Объединяя составляющие (9)-(12)  получим выражение для Т_распр.

С учетом получаемого из (4),(5) выражения для Т_центр приходим к искомой оценке К_уск  по (1).

После ряда упрощающих преобразований, раскрытия формул (2),(3) и допущения о том, что m_sum = N×m_max и T_a=T_m=T_op, получим

                  .  (13)

На рис.1 представлено семейство зависимости К_уск=f(Т_ор, m_max) при заднии m_max=100, 200, 400; V_кан=12 Кбит/c; n_max=4; N=4. Из полученных графиков виден эффект резкого увеличения К_уск для большего числа узлов в электрической системе. На рис.2  приведены зависимости К_уск =(m_max,N) для различного числа подсистем N=3, 4, 5.

     

 

Результат К_уск ≥ N подтверждает, что декомпозиционная модель вносит дополнительный “математический” вклад в ускорение, наряду с эффектом “чисто” параллельных вычислений. С увеличением числа узлов в электрической системе выявленные зависимости асимптотически стремятся , т.е., ускорение зависит лишь от топологии декомпозиционной модели. Наконец, заметим, что при наличии мощных компьютеров в ЛЦУ необходимый эффект может быть достигнут и на относительно медленных каналах связи.

 

Литература

1. Дзегеленок И.И. Кузнецов А.Ю. Параллельные мультикомпьютерные сети как направление развития распределенных супер-ЭВМ/  Сб. научных трудов “Системы управления и силовая электроника ” – М.: Издательство ВЭИ, 2001, с. 26-32.   

2. Абдулрадх О.А. Метод декомпозиционных эквивалентов для управления электроэнергетическими системами,/ Настоящий сборник докладов.